Natürliche Mathematik

Die Sprache der Natur

Einführung

Man muss sich nicht genau umsehen, um zu bemerken, welche Muster und Formen sich unmittelbar in unserer Umgebung befinden. Von Tieren, Pflanzen bis zu ganzen Ökosystemen an sich: Die Mathematik lässt sich überall finden.

Und das schon seit langer Zeit: Der griechische Philosoph und Universalgelehrte Theophrastus merkte schon 300 v. Chr. nicht nur, dass sich die Blätter verschiedener Pflanzen in regelmäßigen Abständen voneinander befinden, sondern auch, welche Symmetrieeigenschaften sie aufweisen.

Symmetrie

Erkennbar auf den ersten Blick sind die unterschiedlichen Symmetrien, die alle möglichen Arten von Lebewesen zeigen. Sei es die sechsfache Symmetrie der Schneeflocken, die den Eiskristallen ihre prägende Form verleihen, oder Blüten, die in gleich zwei Arten der Symmetrie vorkommen. Einerseits gibt es zygomorphe Pflanzen, deren Symmetrieachse die Mitte der Blüte teilt, was dazu führt, dass die beiden Hälften der Blüte gespiegelt aussehen (“spiegelsymmetrisch”). Dazu kommen radiärsymmetrische Blüten, deren einzelne Blütenblätter “radiär”, also kreisförmig, in regelmäßigen Abständen ausgerichtet sind:

Tessellationen - Ecken und Kanten

Eine Tessellation bezeichnet eine Parkettierung bzw. Kachelung, die durch Ecken und Kanten beschrieben werden kann. Man nennt den Berührungspunkt zweier Kacheln “Kante”, während sich eine “Ecke” auf jenen Punkt bezieht, der Schnittpunkt von mindestens drei Kacheln ist. Generiert wird die Tessellation durch einen Fundamentalbereich bzw. eine Fundamentaldomäne: Das bezeichnet diejenige Form, die in der Kachelung, wie beispielsweise in einem Mosaik, “gefliest” wird.

Auch Tessellationen sind in der Natur aufzufinden: Bienenwaben sind Strukturen, die von Natur aus sowohl verkachelt, als auch isogonal sind. Vereinfacht bedeutet das, dass alle Kacheln, die an einer beliebigen Ecke angrenzen, so ausgerichtet sind, dass ihre Form auch unter ihren Symmetrien erhalten bleibt.

Aber auch einige Blumen, beispielsweise bestimmte Arten der Zeitlosen (Colchicum), oder Fritillaria, die auch passend “Schachblume” genannt wird, weisen Kachelmuster in ihren Blättern auf.

Die Fibonacci-Folge - Das Wachstumsmuster der Natur

Mit der Entwicklung mathematischer und physikalischer Werkzeuge im Laufe der Zeit wurde es auch einfacher, die Muster und Beziehungen, die in unserer Natur auftreten, allgemeiner zu formulieren, um sie so besser verstehen zu können.

Als eine der bekanntesten Zahlenfolgen in der Mathematik gilt die Fibonacci-Folge, benannt nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci:

In dieser Reihe wird die nächste Zahl F(n) als Summe der beiden vorangehenden Zahlen gebildet, sodass folgende Zahlenfolge entsteht, wenn man mit den Zahlen 0 und 1 anfängt:

Besonders interessant wird die Fibonacci-Folge, wenn man betrachtet, wie sich die Zahlen der Folge untereinander verhalten. Führt man die Zahlenreihe ins Unendliche fort, sieht man, dass die Division von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen immer eine bestimmte Zahl ergibt. Wir nennen diese Zahl das goldene Verhältnis Phi:

Die goldene Spirale

Als alleinstehende Zahl mag das goldene Verhältnis eher “sinnlos” wirken. Bildet man mit φ jedoch eine Spirale, also eine Art Kurve, deren Radius von einem Winkel abhängig ist, erhält man die sogenannte goldene Spirale.

Diese Form ist auch in der Natur zu finden und in der Botanik sogar unter einem eigenen Begriff, “phyllotaktische Spirale”, bekannt. Ein Beispiel für eine Pflanze, die diese Eigenschaft aufweist, ist Aloe polyphylla, auch “Spiralaloe” genannt.


 

Die einzelnen Blätter einer Blattrosette haben einen bestimmten Winkel zueinander, um sich gegenseitig nicht zu beschatten. Dieser Winkel wird goldener Winkel genannt.

Fraktale - Bis in die Unendlichkeit

Eine genaue, formale Definition für Fraktale gibt es nicht. Als noch junges mathematisches Konzept ist die vermutlich am häufigsten zitierte Beschreibung jene, die Benoit Mandelbrot 2006 lieferte: “Beautiful, damn hard, increasingly useful. That's fractals.”

Bekannt ist er nicht nur für dieses Zitat, sondern vor allem für die Mandelbrot-Menge, eines der populärsten Beispiele für Fraktale.

Der Begriff “Fraktal” an sich stammt vom lateinischen Adjektiv “fractus”, was als “zerbrochen”, “gebrochen” übersetzt werden kann. Diese Bezeichnung erklärt sich dadurch, wenn man die zwei Kerneigenschaften von Fraktalen betrachtet.

Selbstähnlichkeit

Fraktale sind “selbstähnlich”. Das bedeutet, dass ein Teil des Fraktals einem anderen Teil ähnelt. Vergrößert man beispielsweise eine beliebige Region der Mandelbrot-Menge, erhält man eine weiteren Bereich, der zuvor bereits aufzufinden war.

Fraktale Dimensionen

Wenn wir von einer, zwei oder drei Dimensionen reden, reden wir normalerweise von sogenannten Hausdorff-Besicovitch-Dimensionen. Dieses Konzept von “Dimension”, das wir schon kennen, kann jedoch erweitert werden. Obwohl eine “eins-komma-fünfte” Dimension nicht vorstellbar ist, gibt es diese in der Welt der Fraktale.

Als Beispiel untersuchen wir die Kochsche Schneeflocke, die vom schwedischen Mathematiker Niels Fabian Helge von Koch 1904 beschrieben wurde.

Nimmt man ein Dreieck, teilt es in drei gleich lange Strecken und bildet aus der mittleren Strecke ein neues Dreieck, wo dieser Prozess wiederholt wird, erhält man eine Kochsche Schneeflocke.

Da die ursprüngliche Seite des Dreiecks in genau drei kleinere Einheiten geteilt wird, verkleinern wir sie um den Faktor 3. Zusätzlich erhalten wir nach jeder Teilung der Seite vier selbstähnliche Strecken.

Mit diesen Informationen können wir schlussfolgern, dass die Anzahl der selbstähnlichen Objekte N, nach Anwendung einer Skalierung mit dem Faktor ε, mit folgender Formel beschrieben werden kann:

Durch Lösung der Gleichung nach der Dimension D können wir somit die Dimension ermitteln:

Fraktale in der Natur

Doch wo sind Fraktale in der Natur aufzufinden? … An erstaunlich vielen Orten.

Eiskristalle, die sich an gläsernen Oberflächen bilden, zeigen selbstähnliche Eigenschaften. Die verschiedenen Verzweigungen von Bäumen und Blättern erinnern an Fraktale. Der Romanesco, eine in Rom gezüchtete Variante des Blumenkohls, weist nicht nur eine selbstähnliche Struktur auf, sondern auch die Form einer goldenen Spirale.

Sogar ganze Küstenlinien sind aufgrund ihrer fraktal-ähnlichen Charakteristiken nicht eindeutig messbar und besitzen somit ihre eigenen fraktalen Dimensionen.

So kam es auch 1951 vor, dass der britische Mathematiker Lewis Fry Richardson feststellte, dass Portugal seine Grenze mit Spanien 987 Kilometer lang maß, während Spanien jedoch 1214 Kilometer berichtete. Grund für die unterschiedlichen Angaben war schlussendlich, dass Spanien die Grenze in kleinere Einheiten teilte, um die Länge der Grenze zu messen.

Wesentlich absurder war für Richardson jedoch, dass eine unendlich kleine Maßeinheit nicht bedeutete, den Grenzverlauf möglichst genau zu messen, sondern eine unendlich große Grenzlänge.

Erst 16 Jahre später konnte Mandelbrot dieses Phänomen erklären. Das Abwechseln von Buchten und Kaps entlang eines Küsten- bzw. Grenzverlaufs kann, ähnlich wie bei Fraktalen, bis (fast) in die Unendlichkeit, mit atomaren Längen, wiederholt werden. Dadurch strebt das Aufsummieren der einzelnen Maßeinheiten immer gegen Unendlich.

Werft doch mal einen genaueren Blick in unsere Natur,

… denn es wird schnell erkenntlich, welche unterschiedlichen mathematischen Phänomene und Beziehungen sich direkt um uns befinden. Sei es das Kachelmuster von Bienenwaben, die Symmetrie von Blüten oder der Verlauf von ganzen Küstenlinien: Es ist wahr, dass sich die Mathematik wirklich überall finden lässt.

Jakob Neumann

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